【题目】已知圆关于直线对称的圆为.
(1)求圆的方程;
(2)过点作直线与圆交于两点, 是坐标原点,是否存在这样的直线,使得在平行四边形中?若存在,求出所有满足条件的直线的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在直线和
【解析】试题分析:(1)将圆的一般方程转化为标准方程,将圆关于直线对称问题转化为点关于直线对称问题,进而求出圆的方程;(2)先由条件判定四边形为矩形,将问题转化为判定两直线垂直,利用平面向量是数量积为0进行求解.
试题解析:(1)圆化为标准为,
设圆的圆心关于直线的对称点为,则,
且的中点在直线上,
所以有,
解得: ,
所以圆的方程为.
(2)由,所以四边形为矩形,所以.
要使,必须使,即: .
①当直线的斜率不存在时,可得直线的方程为,与圆
交于两点, .
因为,所以,所以当直线的斜率不存在时,直线满足条件.
②当直线的斜率存在时,可设直线的方程为.
设
由得: .由于点在圆内部,所以恒成立,
,
, ,
要使,必须使,即,
也就是:
整理得:
解得: ,所以直线的方程为
存在直线和,它们与圆交两点,且四边形对角线相等.
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【题目】已知函数, 为自然对数的底数.
(Ⅰ)求曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)关于的不等式在恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)关于的方程有两个实根, ,求证: .
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【题目】黄种人群中各种血型的人所占的比例如下:
血型 | A | B | AB | O |
该血型的人所占比例(%) | 28 | 29 | 8 | 35 |
已知同种血型的人可以输血,O型血可以输给任何一种血型的人,其他不同血型的人不能互相输血,小明是B型血,若小明因病需要输血,问:
(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?
(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?
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【题目】某车间共有名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.
(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值;
(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人;
(Ⅲ) 从该车间名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.
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【题目】如图,某观测站在港口A的南偏西40°方向的C处,测得一船在距观测站31海里的B处,正沿着从港口出发的一条南偏东20°的航线上向港口A开去,当船走了20海里到达D处,此时观测站又测得CD等于21海里,问此时船离港口A处还有多远?
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【题目】已知函数(且为常数).
(1)当时,讨论函数在的单调性;
(2)设可求导数,且它的导函数仍可求导数,则再次求导所得函数称为原函数的二阶函数,记为,利用二阶导函数可以判断一个函数的凹凸性.一个二阶可导的函数在区间上是凸函数的充要条件是这个函数在的二阶导函数非负.
若在不是凸函数,求的取值范围.
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【题目】已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E、F分别是AC、AD上的动点,且
(1)求证:不论为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;
(2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD ?
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【题目】如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,E、F分别为AC、DC的中点.
(1)求证:EF⊥BC;
(2)求二面角E﹣BF﹣C的正弦值.
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