Question

1．在侧面ABB₁A₁为长方形的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=a，AA₁=$\sqrt{2}$a，D为AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，CO⊥侧面ABB₁A₁，且OC=OA．
（1）求点C₁到侧面ABB₁A₁的距离；
（2）求直线C₁D与平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出AB₁⊥BD，点C₁到侧面ABB₁A₁的距离等于点C到侧面ABB₁A₁的距离，由等面积，可得点C₁到侧面ABB₁A₁的距离；
（2）分别以OD，OB₁，OC所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C₁D与平面ABC所成角的正弦值．

解答 解：（1）由题意，点C₁到侧面ABB₁A₁的距离等于点C到侧面ABB₁A₁的距离，即CO．
侧面ABB₁A₁中，由题意∠ABD=∠AB₁B，
∴∠ABD+∠BAB₁=∠AB₁B+∠BAB₁=90°
∴AB₁⊥BD，BD=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{2}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
由等面积，可得OA=$\frac{a•\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{\sqrt{6}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∵OC=OA，
∴C₁到侧面ABB₁A₁的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$a；
（2）如图，分别以OD，OB₁，OC所在的直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，则由题意得A（0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，0），B（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，0，0），C（0，0，a），B₁（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，0），D（$\frac{\sqrt{6}}{6}$a，0，0），C₁（$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，a），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，0），$\overrightarrow{AC}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，a），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（$\frac{\sqrt{6}}{6}$a，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，a），
设平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{6}}{3}ax+\frac{\sqrt{3}}{3}ay=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{3}ay+az=0}\end{array}\right.$，
取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，\sqrt{6}，-\sqrt{2}$），
设直线C₁D与平面ABC所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{D{C}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{3\sqrt{55}}{55}$，
∴直线C₁D与平面ABC所成角的正弦值为$\frac{3\sqrt{55}}{55}$．

点评 本题考查直线与直线所成角的求法，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．