Question

大家知道，在数列{a_n}中，若a_n=n，则s_n=1+2+3+…+n=

1

2

n2+

1

2

n，若a_n=n²，则
s_n=12+22+32+…+n2=

1

3

n3+

1

2

n2+

1

6

n，于是，猜想：若a_n=n³，则s_n=1³+2³+3³+…+n³=an⁴+bn³+cn²+dn．
问：（1）这种猜想，你认为正确吗？
（2）不管猜想是否正确，这个结论是通过什么推理方法得到的？
（3）如果结论正确，请用数学归纳法给予证明．

Answer 1

分析：（1）猜想正确；
（2）这是一种类比推理的方法；
（3）由类比可猜想，s_n=1³+2³+3³+…+n³=

1

4

n⁴+

1

2

n³+

1

4

n²，再用数学归纳法证明，关键注意n=k+1时的证明，要利用n=k时的结论．

解答：解：（1）猜想正确；
（2）这是一种类比推理的方法；
（3）由类比可猜想，a=

1

4

，n=1时，a+b+c+d=1；n=2时，16a+8b+4c+d=9；n=3时，81a+27b+9c+d=36
故解得a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

，∴s_n=1³+2³+3³+…+n³=

1

4

n⁴+

1

2

n³+

1

4

n²
用数学归纳法证明：
①n=1时，结论成立；
②假设n=k时，结论成立，即1³+2³+3³+…+k³=

1

4

k⁴+

1

2

k³+

1

4

k2=[

k(k+1)

2

]2
则n=k+1时，左边=1³+2³+3³+…+k³+（k+1）³
=

1

4

k⁴+

1

2

k³+

1

4

k²+（k+1）³
=[

k(k+1)

2

]2+(k+1)3
=(

k+1

2

)2(k2+4k+4)
=[

(k+1)(k+2)

2

]2
=右边，结论成立
由①②可知，s_n=1³+2³+3³+…+n³=

1

4

n⁴+

1

2

n³+

1

4

n²，成立

点评：本题的考点是数学归纳法，考查类比推理，考查数学归纳法，解题的关键是合理类比，正确运用数学归纳法的证题步骤．