Question

【题目】如图，已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点、.

（1）求直线的斜率的取值范围；

（2）设为原点，直线交轴于，直线交轴于，，，求证：为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）为定值2，理由见解析.

【解析】

（1）将点P代入抛物线方程，即可求得p的值，设直线AB的方程，代入抛物线方程，由△＞0，排除特殊情况，即可求得k的取值范围；

（2）根据向量的共线定理即可求得λ＝1﹣yM，μ＝1﹣yN，求得直线PA的方程，令x＝0，求得M点坐标，同理求得N点坐标，根据韦达定理和向量的坐标表示，即可求得λ+μ为定值．

（1）抛物线C：y2＝2px经过点P（1，2），∴4＝2p，解得p＝2，

根据题意得过点（0，1）的直线斜率存在，设方程为y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）；

联立方程，，可得k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，

∴△＝（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0解得k＜1，

故直线l的斜率的取值范围（﹣∞，0）∪（0，1）；

（2）设点M（0，yM），N（0，yN），则 （0，1﹣yM），（0，1）；

因为λ，所以1＝λ（1﹣yM），故λ，同理μ，

直线PA的方程为y﹣2（x﹣1）（x﹣1）（x﹣1），

令x＝0，得yM，同理可得yN，

因为λ+μ

2，

即有λ+μ为定值2．