考点:数列的求和
专题:点列、递归数列与数学归纳法
分析:把a2n=a2n-1+(-1)n代入a2n+1=a2n+3n,得到a2n+1=a2n+3n=a2n-1+(-1)n+3n,依次取n为n-1,
n-2,…,1,类加后求得a2n-1,进一步得到a2n,则分组可求数列{an}的前10项的和.
解答:
解:由a
1=1,a
2n=a
2n-1+(-1)
n,a
2n+1=a
2n+3
n(n∈N
*),得
a
2n+1=a
2n+3
n=a
2n-1+(-1)
n+3
n,
a2n-1=a2n-3+(-1)n-1+3n-1,
a2n-3=a2n-5+(-1)n-2+3n-2,
…
a5=a3+(-1)2+32,
a3=a1+(-1)1+31,
累加得:a
2n-1+a
2n-3+…+a
5+a
3=a
2n-3+a
2n-5+…+a
3+a
1+(-1)
1+(-1)
2+…+(-1)
n-2+(-1)
n-1+3
1+3
2+…+3
n-2+3
n-1,
∴
a2n-1=a1++=
1-+•(-1)n-1+•3n-1-=
•(-1)n-1+•3n-1-1.
∴
a2n=a2n-1+(-1)n=
•3n-1-•(-1)n-1-1.
则S
10=(a
1+a
3+a
5+a
7+a
9)+(a
2+a
4+a
6+a
8+a
10)
=
[(-1)0+31-1+(-1)1+32-1+…+(-1)4+35-1]+[31-(-1)0-1+32-(-1)1-1+…+35-(-1)4-1]=3+3
2+3
3+3
4+3
5-5
=
-5=358.
故答案为:358.
点评:本题考查了数列递推式,考查了累加法求数列的通项公式,是中档题.