Question

4．已知圆心为（3，4）的圆N被直线x=1截得的弦长为2$\sqrt{5}$．
（1）求圆N的方程；
（2）若过点D（3，6）的直线l被圆N截得的弦长为4$\sqrt{2}$，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）求出圆的半径，即可求圆N的方程；
（2）根据题意得到直线l斜率存在，设为k，表示出直线l方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，根据r与弦长，利用垂径定理及勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值即可．

解答 解：（1）由题意，圆心到直线的距离为3-1=2，
∵圆N被直线x=1截得的弦长为2$\sqrt{5}$，
∴圆的半径r=$\sqrt{5+4}$=3，
∴圆N的方程为（x-3）²+（y-4）²=9；
（2）设直线l方程为y-6=k（x-3），即kx-y-3k+6=0，
∵圆心（3，4）到直线l的距离d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，r=3，弦长为4$\sqrt{2}$，
∴4$\sqrt{2}$=2$\sqrt{9-{d}^{2}}$，化简得1+k²=4，解得：k=±$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．