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对于函数f(x),若存在区间M=[a,b](其中a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)的一个“稳定区间”.给出下列4个函数:
①f(x)=(x-1)2;②f(x)=|2x-1|;③f(x)=cos
π2
x
;④f(x)=ex.其中存在“稳定区间”的函数有
 
(填出所有满足条件的函数序号)
分析:根据“稳定区间”的定义,我们要想说明函数存在“稳定区间”,我们只要举出一个符合定义的区间M即可,但要说明函数没有“稳定区间”,我们可以用反证明法来说明.由此对四个函数逐一进行判断,即可得到答案.
解答:解:①中,若f(x)=(x-1)2存在“稳定区间”
如当0<x<1时,0<y<1.“稳定区间”:[0,1];
②中,由幂函数的性质我们易得,M=[0,1]为函数f(x)=|2x-1|的“稳定区间”;
③中,由余弦型函数的性质我们易得,M=[0,1]为函数 f(x)=cos
π
2
x
的“稳定区间”;
④中,若f(x)=ex存在“稳定区间”
则ea+1=a,eb+1=b
即ex=x-1有两个解,即函数y=ex与函数y=x-1的图象有两个交点,
这与函数y=ex与函数y=x-1的图象没有交点相矛盾,故假设错误,
即f(x)=ex不存在“稳定区间”
故答案:①②③.
点评:本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求,在说明一个函数没有“稳定区间”时,利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键.
练习册系列答案
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x+2
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12
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x2+a
bx-c
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1
2

(1)试求函数f(x)的单调区间,
(2)已知各项不为0的数列{an}满足4Sn•f(
1
an
)=1,其中Sn表示数列{an}的前n项和,求证:(1-
1
an
)an+1
1
e
<(1-
1
an
)an

(3)在(2)的前题条件下,设bn=-
1
an
,Tn表示数列{bn}的前n项和,求证:T2011-1<ln2011<T2010

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