Question

对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：
①f（x）=（x-1）²；②f（x）=|2^x-1|；③f(x)=cos

π

2

x；④f（x）=e^x．其中存在“稳定区间”的函数有

 

（填出所有满足条件的函数序号）

Answer 1

分析：根据“稳定区间”的定义，我们要想说明函数存在“稳定区间”，我们只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“稳定区间”，我们可以用反证明法来说明．由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．

解答：解：①中，若f（x）=（x-1）²存在“稳定区间”
如当0＜x＜1时，0＜y＜1．“稳定区间”：[0，1]；
②中，由幂函数的性质我们易得，M=[0，1]为函数f（x）=|2^x-1|的“稳定区间”；
③中，由余弦型函数的性质我们易得，M=[0，1]为函数 f(x)=cos

π

2

x的“稳定区间”；
④中，若f（x）=e^x存在“稳定区间”
则e^a+1=a，e^b+1=b
即e^x=x-1有两个解，即函数y=e^x与函数y=x-1的图象有两个交点，
这与函数y=e^x与函数y=x-1的图象没有交点相矛盾，故假设错误，
即f（x）=e^x不存在“稳定区间”
故答案：①②③．

点评：本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求，在说明一个函数没有“稳定区间”时，利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键．