Question

已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且对任意x＞0，都有f ′(x)＞．

（Ⅰ）判断函数F(x)＝在(0，＋∞)上的单调性；

（Ⅱ）设x₁，x₂∈(0，＋∞)，证明：f(x₁)＋f(x₂)＜f(x₁＋x₂)；

（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．

Answer 1

解：（Ⅰ）对F(x)求导数，得F′(x)＝．

∵f ′(x)＞，x＞0，∴xf ′(x)＞f(x)，即xf ′(x)－f(x)＞0，

∴F′(x)＞0．

故F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数．……………………………………………4分

（Ⅱ）∵x₁＞0，x₂＞0，∴0＜x₁＜x₁＋x₂．

由（Ⅰ），知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，

∴F(x₁)＜F(x₁＋x₂)，即＜．

∵x₁＞0，∴f(x₁)＜f(x₁＋x₂)．

同理可得f(x₂)＜f(x₁＋x₂)．

以上两式相加，得f(x₁)＋f(x₂)＜f(x₁＋x₂)．………………………………………8分

（Ⅲ）（Ⅱ）中结论的推广形式为：

设x₁，x₂，…，x_n∈(0，＋∞)，其中n≥2，则f(x₁)＋f(x₂)＋…＋f(x_n)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)．

∵x₁＞0，x₂＞0，…，x_n＞0，

∴0＜x₁＜x₁＋x₂＋…＋x_n．

由（Ⅰ），知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，

∴F(x₁)＜F(x₁＋x₂＋…＋x_n)，即＜．

∵x₁＞0，

∴f(x₁)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)．

同理可得

f(x₂)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)，

f(x₃)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)，

……

f(x_n)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)．

以上n个不等式相加，得f(x₁)＋f(x₂)＋…＋f(x_n)＜f(x₁＋x₂＋…＋x_n)．………14分