【题目】有一椭圆形溜冰场，长轴长100米，短轴长为60米，现要在这溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？并求出此矩形的周长.
【答案】在溜冰场椭圆的短轴两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距
的直线，这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形区域的顶点，矩形的周长为
.
【解析】
分别以椭圆的长轴.短轴所在的直线为
轴和
轴建立坐标系，根据长轴长和短轴长求得椭圆方程.设矩形
的顶点
，且
在第一象限，将点坐标代入椭圆方程，求得
的关系式.求得矩形的面积
，利用配方法求得
的最大值，也即求得矩形的面积
的最大值，并求得此时对应点的坐标，从而求得此时矩形的周长，以及矩形四个顶点的位置.
分别以椭圆的长轴.短轴所在的直线为轴和轴建立坐标系，设矩形的各个顶点都在椭圆上，由题意
，
，则椭圆方程为
，
设顶点
，
，
，则
，
所以
，
矩形的面积，
又因为
=
，
=
.
因此当
时，达到最大值，同时也达到最大值，
此时
，
，矩形的周长为
，
所以在溜冰场椭圆的短轴两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距的直线，这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形区域的顶点，这个矩形的周长为.
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】设
，若数列
满足：对所有
，
，且当
时，
，则称为“
数列”，设
R，函数
，数列
满足
，
（
）.
（1）若
，而是
数列，求
的值；
（2）设
，证明：存在，使得是
数列，但对任意，都不是
数列；
（3）设
，证明：对任意，都存在，使得是数列.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某电子科技公司由于产品采用最新技术，销售额不断增长，最近
个季度的销售额数据统计如下表（其中
表示
年第一季度，以此类推）：
季度 |
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季度编号x |
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|
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销售额y（百万元） |
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（1）公司市场部从中任选
个季度的数据进行对比分析，求这个季度的销售额都超过
千万元的概率；
（2）求
关于
的线性回归方程，并预测该公司
的销售额.
附：线性回归方程：
其中
，
参考数据：
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆的中心是坐标原点
，它的短轴长为
，一个焦点为
，一个定点
，且
，过点
的直线与椭圆相交于两点
.
.
（1）求椭圆的方程及离心率.
（2）如果以
为直径的圆过原点，求直线
的方程.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系
中，已知圆
经过
， 
两点，且圆心在直线
上．
（1）求圆
的标准方程；
（2）过圆
内一点
作两条相互垂直的弦
，当
时，求四边形
的面积．
（3）设直线
与圆
相交于
两点， 
，且
的面积为
，求直线
的方程．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】为了调查一款电视机的使用时间，研究人员对该款电视机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：
并对不同年龄层的市民对这款电视机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示：
愿意购买这款电视机 | 不愿意购买这款电视机 | 总计 | |
40岁以上 | 800 | 1000 | |
40岁以下 | 600 | ||
总计 | 1200 |
（1）根据图中的数据，试估计该款电视机的平均使用时间；
（2）根据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关；
（3）若按照电视机的使用时间进行分层抽样，从使用时间在
和
的电视机中抽取5台，再从这5台中随机抽取2台进行配件检测，求被抽取的2台电视机的使用时间都在内的概率．
附： | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知正方体
的棱长为
，点E，F，G分别为棱AB，
，
的中点，下列结论中，正确结论的序号是___________.
①过E，F，G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；
②
平面EFG；
③
平面
；
④异面直线EF与
所成角的正切值为
；
⑤四面体
的体积等于
.
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