Question

【题目】如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，且，侧面为等边三角形，且与底面垂直， 为的中点．

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意取CD中点O，则AO⊥CD，PO⊥底面ABCD，分别以OD、OA、OP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得相关点的坐标，由可得；

（Ⅱ）设直线与平面所成角为，求出直线的方向向量和面的法向量，根据即可得解.

试题解析：

由底面为菱形且，∴， 是等边三角形，

取中点，有，

∴为二面角的平面角， ∴．

分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图， 　　　

则．

（Ⅰ）由为中点， ∴

∴

（Ⅱ）由， ，∴ ，

∴ 平面的法向量可取

， 设直线与平面所成角为，

则．

即直线与平面所成角的正弦值为 ．