Question

已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c．
（1）若当∠A=θ时，cosA+2cos(

B+C

2

)取到最大值，求θ的值；
（2）设∠A的对边长a=1，当cosA+2cos(

B+C

2

)取到最大值时，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据三角形内角的关系，我们易消去表达式中的B，C角，然后配方成类二次函数的解析式的形式，根据二次函数的性质即可求出cosA+2cos(

B+C

2

)取到最大值，θ的值；
（2）根据（1）中结论，结合∠A的对边长a=1，及余弦定理，我们易求出S的最大值．

解答：解：（1）∵

B+C

2

=

π-A

2

，
则cosA+2cos(

B+C

2

)
=cosA+2sin(

A

2

)
=1-2sin2

A

2

+2sin

A

2

=-2(sin

A

2

-

1

2

)2+

3

2

易得当sin

a

2

=

1

2

，即A=

π

3

时，cosA+2cos(

B+C

2

)取到最大值，
故θ=

π

3

，
（2）由（1）的结论
S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc
又∵a=1，即A=

π

3

由余弦定理可得bc≤1即S≤

3

4

故△ABC面积的最大值

3

4

点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，对于三角函数的最值有两种处理方法，一是用辅助角公式转化成正弦型函数的形式，二是配方成类二次函数的形式．