Question

【题目】平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）已知点P的极坐标为，Q为曲线上的动点，求的中点M到曲线的距离的最大值.

Answer 1

【答案】（1），.（2）

【解析】

（1）化简得到，再考虑，利用极坐标方程公式得到答案.

（2）P的直角坐标为，设点，故，代入圆方程得到M在圆心为，半径为1的圆上，计算得到最大距离.

（1）因为，所以3×①+4×②，得.

又，

所以的普通方程为，

将，代入曲线的极坐标方程，得曲线的直角坐标方程为.

（2）由点P的极坐标，可得点P的直角坐标为.

设点，因为M为的中点，所以

将Q代入的直角坐标方程得，

即M在圆心为，半径为1的圆上.

所以点M到曲线距离的最大值为，

由（1）知不过点，且，

即直线与不垂直.

综上知，M到曲线的距离的最大值为.