Question

问是否存在实数a，b，c，使等式1²+2²+…+n²+（n-1）²+…+2²+1²=

1

3

n(an2+bn+c)成立．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：先假设存在符合题意的常数a，b，c，再令n=1，n=2，n=3构造三个方程求出a，b，c，再用用数学归纳法证明成立，证明时先证：（1）当n=1时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，递推到n=k+1时，成立即可．

解答： 解：假设存在a、b、c使1²+2²+3²+…n²+（n-1）²+…2²+1²=

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3

n(an2+bn+c)对于一切n∈N^*都成立．
当n=1时，a+b+c=3；当n=2时，8a+4b+2c=18；当n=3时，9a+3b+c=19．
解得a=2，b=0，c=1．
证明如下：
①当n=1时，由以上知存在常数a、b、c使等式成立．
②假设n=k（k∈N^*）时等式成立，
即1²+2²+3²+…k²+（k-1）²+…2²+1²=

1

3

k（2k²+1）；
当n=k+1时，1²+2²+3²+…（k+1）²+k²+…2²+1²=ak（bk²+c）=

1

3

k（2k²+1）+（k+1）²+k²
=

1

3

（k+1）[2（k+1）²+1]．
即n=k+1时，等式成立．
因此存在a=2，b=0，c=1，使等式对一切n∈N^*都成立．

点评：本题主要考查研究存在性问题和数学归纳法，对存在性问题先假设存在，再证明是否符合条件，数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立．