Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为a，E为棱CC₁上的动点．
（1）求证：A₁E⊥BD；
（2）当E恰为棱CC₁的中点时，求证：平面A₁BD⊥平面EBD．

Answer 1

分析：（1）连AC，A₁C₁，可先根据线面垂直的判定定理可证BD⊥平面ACC₁A₁，A₁E?平面ACC₁A₁，根据线面垂直的性质可知BD⊥A₁E；
（2）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连A₁O，EO，根据二面角平面角的定义可知∠A₁OE即为二面角A₁-BD-E的平面角，根据勾股定理可求出
∠A₁EO=90°，根据面面垂直的定义可知平面A₁BD⊥平面BDE．

解答：证明：（1）连AC，A₁C₁
∵正方体AC₁中，AA_1⊥平面ABCD∴AA_1⊥BD
∵正方形ABCD，AC⊥BD且AC∩AA₁=A
∴BD⊥平面ACC₁A₁且E∈CC₁∴A₁E?平面ACC₁A₁∴BD⊥A₁E
（2）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连A₁O，EO
由（1）得BD⊥平面A₁ACC₁∴BD⊥A₁O，BD⊥EO
∴∠A₁OE即为二面角A₁-BD-E的平面角
∵AB=a，E为CC₁中点∴A₁O=

6

2

a，EO=

3

2

a，A₁E=

3

2

a
∴A₁O²+OE²=A₁E²∴A₁O⊥OE∴∠A₁OE=90°
∴平面A₁BD⊥平面BDE

点评：本小题主要考查空间中的线面关系，考查线线垂直、线面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．