Question

19．一渔船停泊在距海岸9km处，假定海岸线是直线，今派人从船上送信到距船3$\sqrt{34}$km处的海岸渔站，如果送信人步行速度为5km/h，船速为4km/h，问应在何处登岸再走，才可使抵达渔站的时间最短？

Answer 1

分析 先求出时间的表达式，再利用导数的方法求出最值即可．

解答 解：如图，设渔艇停泊在A处，
海岸线BC（C为渔站），AB⊥BC于B．
∴AB=9，AC=3$\sqrt{34}$．
设此人在D处登岸，CD=x，
则BC=15，
∴BD=15-x，∴AD=$\sqrt{{9}^{2}+（15-x）^{2}}$，
∴送信所需时间t=$\frac{\sqrt{81+（15-x）^{2}}}{4}+\frac{x}{5}$，
∴t′=$\frac{4\sqrt{81+（15-x）^{2}}+5x-75}{20\sqrt{81+（15-x）^{2}}}$．
令t'=0时，解得（5x-75）²=16[81+（15-x）²]．
∴|15-x|=12，∴x=3，x=27（舍去）．
答：此人在距渔站3km处登岸可使抵达渔站的时间最短．

点评 本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．