练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （2013•韶关一模）设f（x）在区间I上有定义，若对?x1，x2∈I，都有f(
    x1+x2
    2
    )≥
    f(x1)+f(x2)
    2
    ，则称f（x）是区间I的向上凸函数；若对?x1，x2∈I，都有f(
    x1+x2
    2
    )≤
    f(x1)+f(x2)
    2
    ，则称f（x）是区间I的向下凸函数，有下列四个判断：
    ①若f（x）是区间I的向上凸函数，则-f（x）在区间I的向下凸函数；
    ②若f（x）和g（x）都是区间I的向上凸函数，则f（x）+g（x）是区间I的向上凸函数；
    ③若f（x）在区间I的向下凸函数，且f（x）≠0，则
    1
    f(x)
    是区间I的向上凸函数；
    ④若f（x）是区间I的向上凸函数，?x1，x2，x3，x4∈I，则有f（
    x1+x2+x3+x4
    4
    ）≥
    f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)
    4

    其中正确的结论个数是（　　）
    分析：对于①②④直接利用函数是“凸函数”的定义，通过放缩法证明即可；对于③利用举反例的方法结合图象法即可进行判断．
    解答：解：①若f（x）是区间I的向上凸函数，则对?x1，x2∈I，都有f(
    x1+x2
    2
    )≥
    f(x1)+f(x2)
    2
    ，
    ∴-f(
    x1+x2
    2
    )≤
    -f(x1)-f(x2)
    2
    ，
    ∴-f（x）在区间I的向下凸函数；正确．
    ②若f（x）和g（x）都是区间I的向上凸函数，则对?x1，x2∈I，都有f(
    x1+x2
    2
    )≥
    f(x1)+f(x2)
    2
    ，
    g(
    x1+x2
    2
    )≥
    g(x1)+g(x2)
    2
    ，两式相加得f(
    x1+x2
    2
    )+g(
    x1+x2
    2
    )≥
    f(x1)+f(x2)
    2
    +
    g(x1)+g(x2)
    2

    ∴f（x）+g（x）是区间I的向上凸函数；正确．
    ③若f（x）在区间I的向下凸函数，且f（x）≠0，则
    1
    f(x)
    不一定是区间I的向上凸函数；
    如f（x）=ex，
    1
    f(x)
    =(
    1
    e
    )x    ，如图，

    它们都是向下凸函数．故错．
    ④若f（x）是区间I的向上凸函数，
    ?x1，x2，x3，x4∈I，则有f（
    x1+x2+x3+x4
    4
    ）=f（
    x1+x2
    2
    +
    x3+x4
    2
    2
    ）≥
    f(
    x1+x2
    2
    )+f(
    x3+x4
    2
    )
    2

    ≥
    f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)
    4
    ，故正确．
    其中正确的结论个数是3．
    故选C．
    点评：本题考查命题的真假判断与应用以及放缩法证明问题的步骤，新定义的应用，考查分析问题与解决问题的能力．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•韶关一模）在实验员进行一项实验中，先后要实施5个程序，其中程度A只能出现在第一步或最后一步，程序C或D实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•韶关一模）如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=CA=2，点E是PC的中点．
    （1）求证：侧面PAC⊥平面PBC；
    （2）若异面直线AE与PB所成的角为θ，且tanθ=
    3
    		2
    2
    ，求二面角C-AB-E的大小．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•韶关一模）如果集合A={x|x2+ax+1=0}中只有一个元素，则a的值是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•韶关一模）（几何证明选讲选做题）
    在直角坐标系xoy中，圆C1的参数方程为
    x=cosα
    y=1+sinα
    （α为参数）在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴）中，圆C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，则C1与C2的位置关系是
    内切
    内切
    （在“相交，相离，内切，外切，内含”中选择一个你认为正确的填上）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•韶关一模）某校为了解高二学生A，B两个学科学习成绩的合格情况是否有关，随机抽取了该年级一次期末考试A，B两个学科的合格人数与不合格人数，得到以下2X2列联表：
    A学科合格人数 A学科不合格人数 合计
    B学科合格人数 40 20 60
    B学科不合格人数 20 30 50
    合计 60 50 110
    （1）据此表格资料，你认为有多大把握认为“A学科合格”与“B学科合格”有关；
    （2）从“A学科合格”的学生中任意抽取2人，记被抽取的2名学生中“B学科合格”的人数为X，求X的数学期望．
    附公式与表：K2=
    n(ad-bc)2
    (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

    P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
    K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案