Question

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的参数方程为

x=4cosθ y=3sinθ

（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρsin（θ-

π

4

）=4

2

．点P在曲线C上，则点P到直线l的距离的最小值为

 

．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：曲线C的参数方程为

x=4cosθ y=3sinθ

（θ为参数），化为

x2

16

+

y2

9

=1，直线l的极坐标方程为ρsin（θ-

π

4

）=4

2

，化为y-x=8．设与直线y-x=8平行且与椭圆相切的直线为y-x=m．与椭圆方程联立可得25x²+32mx+16m²-144=0，利用△=0，解出m，再利用平行线之间的距离公式即可得出．

解答： 解：曲线C的参数方程为

x=4cosθ y=3sinθ

（θ为参数），化为

x2

16

+

y2

9

=1，
直线l的极坐标方程为ρsin（θ-

π

4

）=4

2

，展开为

2

2

(ρsinθ-ρcosθ)=4

2

，化为y-x=8．
设与直线y-x=8平行且与椭圆相切的直线为y-x=m．
联立

y-x=m x2 16 + y2 9 =1

，化为25x²+32mx+16m²-144=0，
∵△=（32m）²-4×25×（16m²-144）=0，
化为m²=25，
解得m=±5．
取m=5，则切线为y=x+5．
其距离d=

|8-5|

2

=

3 2

2

．
∴点P到直线l的距离的最小值为

3 2

2

．
故答案为：

3 2

2

．

点评：本题考查了参数方程与极坐标方程化为直角坐标方程、平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．