Question

如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点，作交于点．

（1）证明平面；
（2）证明平面．

Answer 1

（1）见解析（2）见解析

试题分析：（1）连接AC，AC交BD于O．连接EO．根据正方形的性质，得EO是△PAC的中位线，得PA∥EO，从而得到PA∥平面EDB；
（2）过F点作FG⊥PC于G，可得FG⊥平面PDE，FG是点F到平面PDE的距离．等腰Rt△PDC中，算出PE长和△PED的面积，再利用三角形相似算出PF和FG的长，最后用锥体体积公式，可算出三棱锥P-DEF的体积．
试题解析：方法一：
（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO。
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点
在中，EO是中位线，∴PA//EO
而平面EDB且平面EDB，
所以，PA//平面EDB

（2）证明：
∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴
∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，
∴。   ①
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC。
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC。
而平面PDC，∴。   ②
由①和②推得平面PBC。
而平面PBC，∴
又且，所以PB⊥平面EFD。
方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设。
（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG。
依题意得。
∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且
。
∴，这表明PA//EG。
而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB。

（2）证明；依题意得，。又，故。
∴.
由已知，且，所以平面EFD.