Question

已知直线l₁：3x+4y-5=0，圆O：x²+y²=4．
（1）求直线l₁被圆O所截得的弦长；
（2）如果过点（-1，2）的直线l₂与l₁垂直，l₂与圆心在直线x-2y=0上的圆M相切，圆M被直线l₁分成两段圆弧，其弧长比为2：1，求圆M的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用垂径定理求得弦长．
（2）设出圆心M的坐标和半径，根据题意建立等式求得a，则圆心坐标可得，利用点到直线的距离求得半径，则圆的方程可得．
解答：解：（1）由题意得：圆心到直线l₁：3x+4y-5=0的距离，由垂径定理得弦长为
（2）直线
设圆心M为圆心M到直线l₁的距离为r，即圆的半径，由题意可得，圆心M到直线l₂的距离为，所以有：
解得：，所以圆心为，，所以所求圆方程为：
或a=0，即圆方程为：x²+y²=4
点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质．考查了点到直线距离公式的应用以及数形结合思想的运用．