Question

已知直线l₁：4x－3y＋6＝0和直线l₂：x＝－ (p>2)．若拋物线C：y²＝2px上的点到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值为2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若拋物线上任意一点M处的切线l与直线l₂交于点N，试问在x轴上是否存在定点Q，使Q点在以MN为直径的圆上，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）y²＝4x（2）存在定点Q(1，0)，使Q在以MN为直径的圆上．

(1)由定义知l₂为抛物线的准线，抛物线焦点F，由抛物线定义知抛物线上点到直线l₂的距离等于其到焦点F的距离．
所以抛物线上的点到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值为焦点F到直线l₁的距离．
所以2＝，则p＝2，所以抛物线方程为y²＝4x.
(2)设M(x₀，y₀)，由题意知直线斜率存在，设为k，且k≠0，所以直线l方程为y－y₀＝k(x－x₀)，
代入y²＝4x消x得ky²－4y＋4y₀－k＝0.
由Δ＝16－4k(4y₀－k)＝0，得k＝.
所以直线l方程为y－y₀＝ (x－x₀)，
令x＝－1，又由＝4x₀，得N.
设Q(x₁，0)则＝(x₀－x₁，y₀)，＝.
由题意知·＝0，即(x₀－x₁)(－1－x₁)＋＝0，把＝4x₀代入，得(1－x₁)x₀＋＋x₁－2＝0，因为对任意的x₀等式恒成立，所以
所以x₁＝1，即在x轴上存在定点Q(1，0)，使Q在以MN为直径的圆上．