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已知点P1(x0,y0)为双曲线(b为正常数)上任一点,F2为双曲线的右焦点,过P1作右准线的垂线,垂足为A,连接F2A并延长交y轴于点P2.

 (1)求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程;

(2)设轨迹E与x轴交于B,D两点,在E上任取一点Q(x1,y1)(y1≠0),直线QB,QD分别交y轴于M,N两点.求证:以MN为直径的圆过两定点.

(1)由已知得F2(3b,0),A(,y0),

则直线F2A的方程为,

令x=0得y=9y0,即P2(0,9y0).

设P(x,y),则

代入,得,

即P的轨迹E的方程为.

 (2)在中,

令y=0得x2=2b2,则不妨设B(,0),D(,0),

于是直线QB的方程为,

直线QD的方程为,

可得M(0,),N(0,),

则以MN为直径的圆的方程为x2+()()=0,

令y=0得,

而Q(x1,y1)在上,

,

于是x=±5b,

即以MN为直径的圆过两定点(-5b,0),(5b,0).

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知点P1(x0,y0)为双曲线
x2
8b2
-
y2
b2
=1
(b为正常数)上任一点,F2为双曲线的右焦点,过P1作右准线的垂线,垂足为A,连接F2A并延长交y轴于P2
(1)求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程;
(2)设轨迹E与x轴交于B、D两点,在E上任取一点Q(x1,y1)(y1≠0),直线QB,QD分别交y轴于M,N两点.求证:以MN为直径的圆过两定点.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点P1(x0,y0)为双曲线
x2
3b2
-
y2
b2
=1(b>0,b为常数)
上任意一点,F2为双曲线的右焦点,过P1作右准线的垂线,垂足为A,连接F2A并延长交y轴于点P2
(1)求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程;
(2)是否存在过点F2的直线l,使直线l与(1)中轨迹在y轴右侧交于R1、R2两不同点,且满足
OR1
OR2
=4b2
,(O为坐标原点),若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由;
(3)设(1)中轨迹E与x轴交于B、D两点,在E上任取一点Q(x1,y1)(y1≠0),直线QB、QD分别交y轴于M、N点,求证:以MN为直径的圆恒过两个定点.

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科目:高中数学 来源:2009年高考数学理科(江西卷) 题型:044

已知点P1(x0y0)为双曲线为正常数)上任一点F2为双曲线的右焦点,过P1作右准线的垂线,垂足为A,连接F2A并延长交y轴于点P2

(1)求线段P1P2的中点P的轨迹F的方程;

(2)设轨迹Ex轴交于BD两点,在E上任取一点Q(x1y1)(y0),直线QBQD分别交于y轴于MN两点.求证:以MN为直径的圆过两定点.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知点P1(x0,y0)为双曲线
x2
3b2
-
y2
b2
=1(b>0,b为常数)
上任意一点,F2为双曲线的右焦点,过P1作右准线的垂线,垂足为A,连接F2A并延长交y轴于点P2
(1)求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程;
(2)是否存在过点F2的直线l,使直线l与(1)中轨迹在y轴右侧交于R1、R2两不同点,且满足
OR1
OR2
=4b2
,(O为坐标原点),若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由;
(3)设(1)中轨迹E与x轴交于B、D两点,在E上任取一点Q(x1,y1)(y1≠0),直线QB、QD分别交y轴于M、N点,求证:以MN为直径的圆恒过两个定点.

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