Question

已知△ABC的顶点B（-3，0）、C（3，0），E、F分别为AB、AC的中点，AB和AC边上的中线交于G，并且|GF|+|GE|=5，则点G的轨迹方程为

x2

25

+

y2

16

=1(x≠±5)

．

Answer 1

分析：由题意得出G点为△ABC的重心，结合|GF|+|GE|=5，算出|GB|+|GC|=10，从而得到G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆．利用椭圆的基本量结合题中数据算出椭圆方程为

x2

25

+

y2

16

=1，结合三角形的三个顶点为共线，可得所求点G的轨迹方程．

解答：解：∵△ABC的边AB和AC边上的中线交于G，
∴G点为△ABC的重心，
∵|GF|+|GE|=5，可得|GB|+|GC|=2（|GF|+|GE|）=10，
∴G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，2a=5，c=2
可得a=5，b²=a²-c²=16
∴椭圆的方程为

x2

25

+

y2

16

=1，
由三角形ABC中，A点不在直线BC上，可得y=

1

3

y_A≠0，即x≠±5
因此，点G的轨迹方程为

x2

25

+

y2

16

=1(x≠±5)
故答案为：

x2

25

+

y2

16

=1(x≠±5)；

点评：本题给出三角形的重心满足的条件，求点G的轨迹方程．着重考查了三角形重心的性质、椭圆的定义与标准方程等知识，属于中档题．