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    【题目】在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手.

    （1）求观众甲选中3号歌手的概率；

    （2）表示3号歌手得到观众甲、乙的票数之和，求.

    【答案】（1）；（2）

    【解析】

    （1）由于观众甲必选1，不选2，则观众甲选中3号歌手的概率为.
    （2）表示观众甲、乙只有一人投票给3号歌手,分别求出观众甲投票给3号歌手,而乙没有投票给3号歌手和观众乙投票给3号歌手,而甲没有投票给3号歌手的投票方法总数，从而得出答案.

    （1）设A表示事件“观众甲选中3号歌手”

    观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，则观众甲选3名歌手有种选法.

    观众甲选中3号歌手有种选法.

    所以观众甲选中3号歌手的概率

    （2）表示3号歌手得到观众甲、乙的票数之和,

    表示观众甲、乙只有一人投票给3号歌手.

    观众甲投票给3号歌手,而乙没有投票给3号歌手有种

    观众乙投票给3号歌手,而甲没有投票给3号歌手有种

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    （1）求与平面所成角的大小；

    （2）在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

    （3）若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值.

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    （1）求证：的面积为定值；

    （2）猜想：当为任意三角形、同心圆为任意同心圆时，结论是否成立（不要求证明）？

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    【题目】在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度， 为答对该题的人数， 为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题，测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    考前预估难度

    0.9

    0.8

    0.7

    0.6

    0.4

    测试后，从中随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如表：

    （Ⅰ）根据题中数据，估计中240名学生中第5题的实测答对人数；

    （Ⅱ）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为，求的分布列和数学期望；

    （Ⅲ）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设为第题的实测难度，请用和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．

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    【题目】定义在上的函数的导函数为，且对都有，则　　

    A. B.

    C. D.

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    【题目】如图，四棱锥中，底面是正方形，且四个侧面均为等边三角形.延长至点使，连接，.

    （1）证明：；

    （2）求二面角平面角的余弦值.

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    【题目】已知， ， .

    （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；

    （2）若，“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围.

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    【题目】某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关，得到的统计数据如下表：

    月份

    1

    2

    3

    4

    5

    销量（百台）

    0.6

    0.8

    1.2

    1.6

    1.8

    （1）经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量（百件）与月份之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测6月份该商场空调的销售量；

    （2）若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查.假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：

    有购买意愿对应的月份

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    频数

    60

    80

    120

    130

    80

    30

    现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率.

    参考公式与数据：线性回归方程，其中，.

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