Question

求证:方程x=asinx+b(a＞0,b＞0)至少有一个正根，且它不大于a+b.

Answer 1

证明略

设f(x)=asinx+b－x,
则f(0)=b＞0,f(a+b)=a·sin(a+b)+b－(a+b)=a［sin(a+b)－1］≤0,
又f(x)在(0,a+b］内是连续函数，所以存在一个x₀∈(0,a+b］，使f(x₀)=0,即x₀是方程f(x)=0的根，也就是方程x=a·sinx+b的根。
因此，方程x=asinx+b至少存在一个正根，且它不大于a+b。