Question

14．已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}$＞0．
（1）证明：f（x）在[-1，1]上是增函数；
（2）解不等式f（x²-1）+f（3-3x）＜0．

Answer 1

分析 （1）任取x₁、x₂两数使x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，进而根据函数为奇函数推知f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂），让f（x₁）+f（-x₂）除以x₁-x₂再乘以x₁-x₂配出$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}$的形式，进而判断出f（x₁）-f（x₂）与0的关系，进而证明出函数的单调性．
（2）将不等式进行等价转化，利用函数的单调性进行求解．

解答 （1）证明：任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则-x₂∈[-1，1]．
又f（x）是奇函数，于是f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
=$\frac{f（{x}_{1}）+f（-{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$•（x₁-x₂）．
据已知$\frac{f（{x}_{1}）+f（-{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[-1，1]上是增函数． 5分
（2）解：∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且在[-1，1]上是增函数
不等式化为f（x²-1）＜f（3x-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1＜3x-3}\\{-1≤{x}^{2}-1≤1}\\{-1≤3x-3≤1}\end{array}\right.$，解得x∈（1，$\frac{4}{3}$]．

点评 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用．解题时要注意把未知条件拼凑出已知条件的形式，达到解题的目的．