Question

某厂用甲、乙两种原料生产A、B两种产品，已知生产1t A产品，1t B产品分别需要的甲、乙原料数，可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示．问：在现有原料下，A、B产品应各生产多少才能使利润总额最大？列产品和原料关系表如下：

所需原料 产品 原料	A产品 （1t）	B产品 （1t）	总原料 （t）
甲原料（t）	2	5	10
乙原料（t）	6	3	18
利润（万元）	4	3

Answer 1

分析：先设生产A、B两种产品分别为xt，yt，其利润总额为z万元，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=4x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=4x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可．

解答：解析：设生产A、B两种产品分别为xt，yt，其利润总额为z万元，
根据题意，可得约束条件为

2x+5y≤10 6x+3y≤18 x≥0，y≥0

…（3分）
作出可行域如图：…．（5分）
目标函数z=4x+3y，
作直线l₀：4x+3y=0，再作一组平行于l₀的直线l：4x+3y=z，当直线l经过P点时z=4x+3y取得最大值，…．（9分）
由

2x+5y=10 6x+3y=18

，解得交点P(

5

2

，1)…．（12分）
所以有zP=4×

5

2

+3×1=13(万元)…（13分）
所以生产A产品2.5t，B产品1t时，总利润最大，为13万元．…（14分）

点评：点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．