Question

已知圆O：交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为F．若P是圆O上一点，连结PF，过原点P作直线PF的垂线交直线于点Q．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若点P的坐标为（1，1），求证：直线PQ圆O相切；

（3）试探究：当点P在圆O上运动时（不与A、B重合），直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1) +y²="1" (2)因为P（1，1），所以k_PF=，所以k_OQ=-2，所以直线OQ的方程为y=-2x．再由椭圆的左准线方程为x=-2，能够证明直线PQ与圆O相切．

(3) 直线PQ始终与圆O相切

【解析】

试题分析：因为a=，e=，所以c=1（2分）则b=1，即椭圆C的标准方程为+y²=1（4分）（2）因为P（1，1），所以k_PF=，所以k_OQ=-2，所以直线OQ的方程为y=-2x（6分）

又椭圆的左准线方程为x=-2，所以点Q（-2，4）（7分）

所以k_PQ=-1，又k_OP=1，所以k_OP⊥k_PQ=-1，即OP⊥PQ，

故直线PQ与圆O相切（9分）

（3）当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆O保持相切（10分）

证明：设P（x₀，y₀）（x₀≠±），则y₀²=2-x₀²，所以k_PF=，k_OQ=-，所以直线OQ的方程为y="-" x（12分）所以点Q（-2，（13分）所以k_PQ= - ，又k_OP= ，所以k_OP⊥k_PQ=-1，即OP⊥PQ，故直线PQ始终与圆O相切

考点：椭圆方程以及直线与椭圆位置关系

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．