Question

2．函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-9lnx在[a-1，a+1]上存在极值点，则a的取值范围是（2，4）．

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的极值点，根据题意得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=x-$\frac{9}{x}$=$\frac{{x}^{2}-9}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞3，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜3，
故f（x）在（0，3）递减，在（3，+∞）递增，
若函数在[a-1，a+1]有极值，
则$\left\{\begin{array}{l}{a-1＜3}\\{a+1＞3}\end{array}\right.$，解得：2＜x＜4，
故答案为：（2，4）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．