Question

10．P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上一点，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，若∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，则△F₁PF₂的面积为（　　）

• A． $16\sqrt{3}$
• B． $3\sqrt{3}$
• C． $9\sqrt{3}$
• D． $9（2+\sqrt{3}）$

Answer 1

分析 先根据椭圆的方程求得c，进而求得|F₁F₂|，设出|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，利用余弦定理可求得t₁t₂的值，最后利用三角形面积公式求解．

解答 解：∵a=4，b=3
∴c=$\sqrt{7}$．
设|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
则由椭圆的定义可得：t₁+t₂=8①
在△F₁PF₂中∠F₁PF₂=60°，
所以t₁²+t₂²-2t₁t₂•cos60°=28②，
由①²-②得t₁t₂=12，
所以S△F1PF2=$\frac{1}{2}$t1t2•sin60°=$\frac{1}{2}$×12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
故选：B．

点评 解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的标准方程、椭圆的定义，熟练利用解三角形的一个知识求解问题．