【题目】已知函数f(x)=cos(2x-),x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;
(2)求函数f(x)在区间[-, ]上的最小值和最大值,并求出取得最值时x的值.
【答案】(1)最小正周期π,f(x)的单调递减区间是[kπ+,kπ+],k∈Z;(2)f(x)max=,f(x)min=-1.
【解析】试题分析:(1)首先分析题目中三角函数的表达式为标准型,则可以根据周期公式,递增区间直接求解即可;
(2)然后可以根据三角函数的性质解出函数的单调区间,再分别求出最大值最小值.
试题解析:
(1)f(x)的最小正周期T===π.
当2kπ≤2x-≤2kπ+π,即kπ+≤x≤kπ+,k∈Z时,f(x)单调递减,
∴f(x)的单调递减区间是[kπ+,kπ+],k∈Z.
(2)∵x∈[-, ],则2x-∈[-, ],
故cos(2x-)∈[-,1],
∴f(x)max=,此时2x-=0,即x=;
f(x)min=-1,此时2x-=,即x=
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【题目】如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1点E,F,G分别是DD1 , AB,CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是( )
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
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【题目】已知函数h(x)=(m2﹣5m+1)xm+1为幂函数,且为奇函数.
(1)求m的值;
(2)求函数g(x)=h(x)+ 在x∈[0, ]的值域.
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【题目】如图,甲、乙是边长为的两块正方形钢板,现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱,将乙裁剪焊接成一个正四棱锥,使它们的全面积都等于一个正方形的面积(不计焊接缝的面积).
(1)将你的裁剪方法用虚线标示在图中,并作简要说明;
(2)试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小,并证明你的结论.
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【题目】为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:
收入x(万元) | 8.2 | 8.6 | 10.0 | 11.3 | 11.9 |
支出y(万元) | 6.2 | 7.5 | 8.0 | 8.5 | 9.8 |
根据上表可得回归直线方程 ,其中 , = ﹣ ,据此估计,该社区一户居民年收入为15万元家庭的年支出为万元.
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【题目】阅读与探究
人教A版《普通高中课程标准实验教科书 数学4(必修)》在第一章的小结中写到:
将角放在直角坐标系中讨论不但使角的表示有了统一的方法,而且使我们能够借助直角坐标系中的单位圆,建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系,从而用单位圆上点的纵坐标、横坐标来表示圆心角的正弦函数、余弦函数.因此,正弦函数、余弦函数的基本性质与圆的几何性质(主要是对称性)之间存在着非常紧密的联系.例如,和单位圆相关的“勾股定理”与同角三角函数的基本关系有内在的一致性;单位圆周长为与正弦函数、余弦函数的周期为是一致的;圆的各种对称性与三角函数的奇偶性、诱导公式等也是一致的等等.因此,三角函数的研究过程能够很好地体现数形结合思想.
依据上述材料,利用正切线可以讨论研究得出正切函数的性质.
比如:由图1.2-7可知,角的终边落在四个象限时均存在正切线;角的终边落在轴上时,其正切线缩为一个点,值为;角的终边落在轴上时,其正切线不存在;所以正切函数的定义域是.
(1)请利用单位圆中的正切线研究得出正切函数的单调性和奇偶性;
(2)根据阅读材料中途1.2-7,若角为锐角,求证: .
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【题目】已知过点(0,1)的直线与圆x2+y2=4相交于A、B两点,若 ,则点P的轨迹方程是( )
A.
B.x2+(y﹣1)2=1
C.
D.x2+(y﹣1)2=2
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