Question

1．已知函数f（x）=$\vec a•\vec b+\frac{1}{2}$，其中$\vec a=（\sqrt{3}sinx-cosx，-1）$，$\vec b=（cosx，1）$．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调区间；
（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a、b值．

Answer 1

分析 （1）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式，及两角差的正弦公式，化简f（x），再由周期公式和正弦函数的单调区间，解不等式即可得到所求；
（2）设△ABC中，由f（C）=0，可得sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，根据C的范围求得角C的值，再利用正弦定理和余弦定理求得a、b的值．

解答 解：（1）f（x）=$\vec a•\vec b+\frac{1}{2}$=cosx（$\sqrt{3}$sinx-cosx）-1+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$（1+cos2x）-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-1
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
即有函数f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，可得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，可得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
即有增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，减区间为[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z；
（2）f（C）=0，即为sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，
由0＜C＜π，即有2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
解得C=$\frac{π}{3}$．
由sin（A+C）=2sinA，即sinB=2sinA，
由正弦定理，得$\frac{b}{a}$=2①．
由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$，即a²+b²-ab=9②，
由①②解得a=$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查向量的数量积的坐标表示和三角恒等变换、正弦函数的周期性、单调性、正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．