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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知△ABC三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，重心为G（三角形中三边中线的交点），若2a
    GA
    +3b
    GB
    =3c
    CG
    ，则cosB=
     
    ．
    考点：余弦定理,平面向量的基本定理及其意义
    专题：解三角形,平面向量及应用
    分析：根据重心的性质及向量加法的平行四边形法则得到
    GA
    =-
    1
    3
    (
    CB
    -2
    CA
    )    ，
    GB
    =-
    1
    3
    (-2
    CB
    +
    CA
    )    ，
    CG
    =
    1
    3
    (
    CB
    +
    CA
    )    分别带入2a
    GA
    +3b
    GB
    =3c
    CG
    并根据平面向量基本定理可得到
    2b-
    2a
    3
    =c
    4a
    3
    -b=c
    ，这两式相减便得
    b=
    2a
    3
    c=
    2a
    3
    ．所以根据余弦定理即可求出cosB．
    解答： 解：如图，
    根据重心的性质及向量加法的平行四边形法则：
    GA
    =-
    1
    3
    (
    AB
    +
    AC
    )=-
    1
    3
    (
    CB
    -
    CA
    +
    AC
    )=-
    1
    3
    (
    CB
    -2
    CA
    )    ；
    GB
    =-
    1
    3
    (
    BA
    +
    BC
    )    =-
    1
    3
    (-2
    CB
    +
    CA
    )    ；
    CG
    =
    1
    3
    (
    CB
    +
    CA
    )    ；
    ∴-
    2a
    3
    (
    CB
    -2
    CA
    )-b(-2
    CB
    +
    CA
    )    =c(
    CB
    +
    CA
    )    ；
    即：(2b-
    2a
    3
    )
    CB
    +(
    4a
    3
    -b)
    CA
    =c
    CB
    +c
    CA
    ；
    ∴
    2b-
    2a
    3
    =c
    4a
    3
    -b=c
    ；
    ∴
    b=
    2a
    3
    c=
    2a
    3
    ；
    由余弦定理cosB=
    a2+c2-b2
    2ac
    =
    a2
    4
    3
    a2
    =
    3
    4
    ．
    故答案为：
    3
    4
    ．
    点评：考查重心的性质：重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，向量加法的平行四边形法则，以及平面向量基本定理，余弦定理．
    练习册系列答案
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    1
    lnx
    ≤-2．
     
    （判断对错）

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    48
    x
    ，x∈[-3，-1]．
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    		1-x2
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    ．

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    1
    x
    ，ai=
    i
    2015
     i=1，2，…，2015，记Ik=|fk（a2）-fk（a1）|+|fk（a3）-fk（a2）|+…+|fk（a2015）-fk（a2014）|，k=1，2，3 则（　　）
    A、I1＜I3＜I2
    B、I1＜I2＜I3
    C、I2＜I1＜I3
    D、I3＜I2＜I1

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    函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，|φ|＜
    π
    2
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    π
    6
    ，
    π
    3
    ），且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）等于（　　）
    A、
    1
    2
    B、
    		3
    2
    C、
    		2
    2
    D、1

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    已知球的直径SC=6，A，B，是该球球面上的两点，AB=3，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC的体积为（　　）
    A、
    5
    		3
    2
    B、4
    		3
    C、
    9
    		3
    2
    D、6
    		3

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    		2
    ．
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    （2）若A1A=2，证明：PC∥平面AB1D；
    （3）若A1A=a，试求当a为何值时，PC∥平面AB1D？

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    在△ABC中，AC=1，BC=
    		3
    ，∠A=60°，则∠C=
     
    ．

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