Question

【题目】如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB ∥EF，矩形ABCD所在平面与圆O所在的平面互相垂直．已知AB＝2，EF＝1.

(1)求证：平面DAF⊥平面CBF；

(2)求直线AB与平面CBF所成角的大小；

(3)求AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）∠ABF＝30°.（3） .

【解析】试题分析：（1）利用面面垂直的性质，可得CB⊥平面ABEF，再利用线面垂直的判定，证明AF⊥平面CBF，从而利用面面垂直的判定可得平面DAF⊥平面CBF；（2）确定∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角，过点F作FH⊥AB，交AB于H，计算出AF，即可求得直线AB与平面CBF所成角的大小；（3）建立空间直角坐标系，求出平面DCF的法向量平面CBF的一个法向量利用向量的夹角公式，即可求得AD的长．

试题解析：

(1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，

平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴CB⊥平面ABEF.

∵AF平面ABEF，∴AF⊥CB，

又∵AB为圆O的直径，

∴AF⊥BF，CB∩BF＝B，CB，BF平面CBF，

∴AF⊥平面CBF.

∵AF平面ADF，∴平面DAF⊥平面CBF.

(2)由(1)知，AF⊥平面CBF，

∴FB为AB在平面CBF内的射影，

∴∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角．

∵AB∥EF，∴四边形ABEF为等腰梯形．

过点F作FH⊥AB，交AB于H.

AB＝2，EF＝1，则AH＝＝.

在Rt△AFB中，根据射影定理AF2＝AH·AB，

得AF＝1.

sin∠ABF＝＝，

∴∠ABF＝30°.

(3)设EF中点为G，以O为坐标原点，OA、OG、AD方向分别为x轴、y轴、z轴方向建立空间直角坐标系(如图)．

设AD＝t(t＞0)，则点D的坐标为(1,0，t)，

则C(－1,0，t)，又A(1,0,0)，B(－1,0,0)，F(，，0)，

∴＝(2,0,0)，＝(，－，t)．

设平面DFC的平面法向量为n1(x，y，z)

即

令z＝，解得x＝0，y＝2t.∴n1＝(0,2t，)．

由(1)可知AF⊥平面CFB，取平面CBF的一个法向量为n2＝＝(－，，0)，

∴cos60°＝，即＝，

解得t＝.