Question

17．定义：若对于平面点集A中的任意一个点（x₀，y₀），总存在正实数r，使得集合{（x，y）|$\sqrt{（x-{x}_{0}）^{2}+（y-{y}_{0}）^{2}}$＜r}⊆A，则称A为一个开集，给出下列集合：
①{（x，y）|x²+y²＜1}；     ②{（x，y）|x+y≥2}；
③{（x，y）||x+y|≤5}；    ④{（x，y）|$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1}．
其中为开集的是①．（写出所有符合条件的序号）．

Answer 1

分析 弄清开集的定义是解决本题的关键．即所选的集合需要满足存在以该集合内任意点为圆心，任意正实数为半径的圆内部分均在该集合内．初步确定该集合不含边界．

解答 解：由题意，所选的集合需要满足存在以该集合内任意点为圆心，任意正实数为半径的圆内部分均在该集合内，且该集合不含边界．
对于①，只要半径足够小即可，故①是开集；
对于②③④，含边界，不是开集．
故答案为：①．

点评 本题属于集合的新定义型问题，考查学生即时掌握信息，解决问题的能力．正确理解好集的定义是解决本题的关键．