Question

定义在实数集R上的奇函数f（x）满足：①f（x）在（0，+∞）内单调递增，②f（-1）=0，则不等式（x+1）f（x）＞0的解集为

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：

分析：本题可以先再利用奇函数的特征得到原函数的草图，对原不等式进行分类讨论，易得本题结论．

解答： 解：∵实数集R上的奇函数f（x）满足f（-1）=0，
∴函数f（x）的图象过点（-1，0）和点（1，0）．
∵f（x）在（0，+∞）内单调递增，
∴f（x）在（-∞，0）内单调递增．
∴当x＜-1或0＜x＜1时，f（x）＜0；
当-1＜x＜0或x＞1时，f（x）＞0．
当x=-1或x=1或x=0时，f（x）=0．
∵（x+1）f（x）＞0，
∴

x+1＞0 f(x)＞0

或

x+1＜0 f(x)＜0

，
∴-1＜x＜0或x＞1或x＜-1．
∴不等式（x+1）f（x）＞0的解集为{x|x＜-1或-1＜x＜0或x＞1}．

点评：本题考查了奇函数的性质、函数单调性，还考查了分类讨论、数形结合的数学思想，本题有一定的思维难度，属于中档题．