Question

10．三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a²+b²-2a-4b+5=0，
（1）若C=$\frac{π}{3}$，求c的值；
（2）若sinA+sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求sinC的值．

Answer 1

分析 （1）由a²+b²-2a-4b+5=0配方，求出a，b，由C=$\frac{π}{3}$，利用余弦定理求c的值；
（2）若sinA+sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，分类讨论求sinC的值．

解答 解：（1）∵a²+b²-2a-4b+5=0，
∴（a-1）²+（b-2）²=0，
∴a=1，b=2，
∵C=$\frac{π}{3}$，
∴c=$\sqrt{1+4-2×1×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$；
（2）∵a=1，b=2，
∴2sinA=sinB，
∵sinA+sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵a＜b，
∴A＜B，
∴cosA=$\frac{\sqrt{33}}{6}$，
B为锐角，则cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，sinC=sin（A+B）=$\frac{\sqrt{11}+\sqrt{2}}{6}$；
B为钝角，则cosB=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，sinC=sin（A+B）=$\frac{\sqrt{11}-\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．