Question

2．已知函数f（x）=ax²+lnx，f₁（x）=$\frac{1}{6}$x²+$\frac{4}{3}$x+$\frac{5}{9}$lnx，f₂（x）=$\frac{1}{2}$x²+2ax，a∈R．若f（x）＜f₂（x）在区间（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 先令p（x）=f（x）-f₂（x）=（a-$\frac{1}{2}$）x2-2ax+lnx＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，利用导数求出p（x）在区间（1，+∞）上是减函数，从而得出：要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足p（1）=-a-$\frac{1}{2}$≤0，由此解得a的范围即可．

解答 解：令$p（x）=f（x）-{f_2}（x）=（a-\frac{1}{2}）{x^2}-2ax+lnx$＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，
因为$p'（x）=（2a-1）x-2a+\frac{1}{x}=\frac{{（2a-1）{x^2}-2ax+1}}{x}=\frac{（x-1）[（2a-1）x-1]}{x}$（*）
令p′（x）=0，得极值点x₁=1，${x_2}=\frac{1}{2a-1}$，
①当$\frac{1}{2}＜a＜1$时，有x₂＞x₁=1，即$\frac{1}{2}＜a＜1$时，在（x₂，+∞）上有p′（x）＞0，
此时p（x）在区间（x₂，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x₂），+∞），不合题意；
②当a≥1时，有x₂＜x₁=1，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；
③当$a≤\frac{1}{2}$时，有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，
从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足$p（1）=-a-\frac{1}{2}≤0$$⇒a≥-\frac{1}{2}$，
所以$-\frac{1}{2}≤a≤\frac{1}{2}$．
综上可知a的范围是$[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．