Question

a

=（sin

x

3

，cos

x

3

），

b

=(1，

3

)，f（x）=(cos

x

3

)(

a

•

b

)
①求f（x）图象对称中心坐标
②若△ABC三边a、b、c满足b²=ac，且b边所对角为x，求x的范围及f（x）值域．

Answer 1

分析：①利用向量的数量积运算及三角恒等变换公式对解析式进行化简，然后再由解析式求对称中心的坐标
②先由余弦定理表示出角x的余弦，再根据基本不等式求出其取值范围，以此范围做定义域，利用三角函数的性质求出值域．

解答：解：①f（x）=sin

x

3

cos

x

3

+

3

cos

2x

3

=sin(

2

3

x+

π

3

)+

3

2

令

2

3

x+

π

3

=kπ
∴x=

3k-1

2

π，k∈z，
f（x）图象对称中心坐标为：（

3k-1

2

π，

3

2

），k∈z．
②cosx=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

∴0＜x≤

π

3

∴

π

3

＜

2

3

x+

π

3

≤

5π

9

∴

3

＜f(x)≤1+

3

2

点评：本题考查正弦函数的对称性及求三角函数的值域，解题的关键是对三角函数的解析式进行化简，根据其性质求对称中心的坐标，第二问中利用余弦定理表示出角的函数，再利用基本不等式求出余弦值的范围，知识性很强，是本题中的难点，解题时要认真体会．