Question

11．将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线的形状，
（1）ρ=4sinθ；
（2）（ρ-1）（θ-π）=0；
（3）ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=1；
（4）$θ=\frac{π}{4}$（ρ∈R）；
（5）ρcosθ=2sin2θ；
（6）ρ²cosθ-ρ=0．

Answer 1

分析 先由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，根据曲线的极坐标方程求出曲线的直角坐标方程，再由曲线的直角坐标方程判断曲线的形状．

解答 解：（1）∵ρ=4sinθ，∴ρ²=4ρsinθ，
∴直角坐标方程为x²+y²-4y=0，即x²+（y-2）²=4，是以（0，2）为圆心，以2为半径的圆；
（2）∵（ρ-1）（θ-π）=0，∴ρ=1或θ=π，
∴直角坐标方程为x²+y²=1或y=0（x≤0），是一个以坐标原点为圆心的单位圆或x轴的正半轴；
（3）∵ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=1，∴$ρ（cosθcos\frac{π}{3}+sinθsin\frac{π}{3}）$=$\frac{1}{2}ρcosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ$=1，
∴直角坐标方程为x+$\sqrt{3}y$-2=0，是一条直线；
（4）∵$θ=\frac{π}{4}$（ρ∈R），∴直角坐标方程为y=x，是一条直线；
（5）∵ρcosθ=2sin2θ=2sinθcosθ，∴cosθ=0或ρ=2sinθ，
直角坐标方程为x=0或x²+y²=4y，是y轴所在直线或是以（0，2）为圆心，以2为半径的圆；
（6）∵ρ²cosθ-ρ=0，ρ=0或ρcosθ=1，
直角坐标方程为x=y=0或x=1，是坐标原点或一条直线．

点评 本题考查曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并判断曲线的形状，是基础题，解题时要注意极坐标方程和直角坐标方程互化公式的合理运用．