Question

以椭圆的一个顶点为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形，试问：（1）这样的等腰直角三角形是否存在？若存在，写出一个等腰直角三角形两腰所在的直线方程。若不存在，说明理由。（2）这样的等腰直角三角形若存在，最多有几个？

Answer 1

(1)存在，与；（2）存在，最多有个.

试题分析：（1）这样的等腰直角三角形存在．直线y=x+1与直线y=-x+1满足题意；
（2）设出CA所在的直线方程，代入椭圆的方程并整理，求出|CA|，同理求出|CB|，由|CA|=|CB|得（k-1）[k²-（a₂-1）k+1]=0，讨论方程根的情况，即可得出结论．
试题解析：（1）这样的等腰直角三角形存在。因为直线与直线垂直，且关于轴对称，所以直线与直线是一个等腰直角三角形两腰所在的直线方程。
（2）设两点分别居于轴的左，右两侧，设的斜率为，则，所在的直线方程为，代入椭圆的方程并整理得，或，的横坐标为，，
同理可得，所以由得
，，
当时，（1）的解是无实数解；
当时，（1）的解是的解也是；当时，（1）的解除外，方程有两个不相等的正根，且都不等于，故（1）有 个正根。
所以符合题意的等腰直角三角形一定存在，最多有个。