【题目】设 ,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y+1=0垂直.
(1)求a的值;
(2)若x∈[1,+∞),f(x)≤m(x﹣1)恒成立,求m的范围.
(3)求证: .
【答案】
(1)解:
由题设 ,
∴
∴1+a=1,∴a=0
(2)解: ,x∈(1,+∞),f(x)≤m(x﹣1),即
设 ,即x∈(1,+∞),g(x)≤0.
①若m≤0,g'(x)>0,g(x)≥g(1)=0,这与题设g(x)≤0矛盾.
②若m>0方程﹣mx2+x﹣m=0的判别式△=1﹣4m2
当△≤0,即 时,g'(x)≤0.
∴g(x)在(0,+∞)上单调递减,
∴g(x)≤g(1)=0,即不等式成立.
当 时,方程﹣mx2+x﹣m=0,其根
,
,
当x∈(1,x2),g'(x)>0,g(x)单调递增,g(x)>g(1)=0,与题设矛盾.
综上所述, .
(3)解:由(2)知,当x>1时, 时,
成立.
不妨令
所以 ,
累加可得 即
【解析】(1)求得函数f(x)的导函数,利用曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y+1=0垂直,即可求a的值;(2)先将原来的恒成立问题转化为 ,设
,即x∈(1,+∞),g(x)≤0.利用导数研究g(x)在(0,+∞)上单调性,求出函数的最大值,即可求得实数m的取值范围.(3)由(2)知,当x>1时,
时,
成立.不妨令
,再分别令k=1,2,…,n.得到n个不等式,最后累加可得.
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【题目】已知等差数列{an}满足an>1,其前n项和Sn满足6Sn=an2+3an+2
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn;
(2)设数列{bn}满足bn= ,且其前n项和为Tn , 证明:
≤Tn<
.
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【题目】如图,椭圆:
(
)和圆
:
,已知圆
将椭圆
的长轴三等分,椭圆
右焦点到右准线的距离为
,椭圆
的下顶点为
,过坐标原点
且与坐标轴不重合的任意直线
与圆
相交于点
、
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线、
分别与椭圆
相交于另一个交点为点
、
.
①求证:直线经过一定点;
②试问:是否存在以为圆心,
为半径的圆
,使得直线
和直线
都与圆
相交?若存在,请求出实数
的范围;若不存在,请说明理由。
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【题目】已知数据a1,a2,…,an的平均数为a,方差为s2,则数据2a1,2a2,…,2an的平均数和方差分别为( )
A. a,s2 B. 2a,s2
C. 2a,2s2 D. 2a,4s2
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【题目】设函数f(x)=cos(x+ ),则下列结论错误的是( )
A.f(x)的一个周期为﹣2π
B.y=f(x)的图象关于直线x= 对称
C.f(x+π)的一个零点为x=
D.f(x)在( ,π)单调递减
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【题目】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+ cosA=0,a=2
,b=2.
(Ⅰ)求c;
(Ⅱ)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.
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【题目】如图,在直角坐标系中,圆
与
轴负半轴交于点
,过点
的直线
,
分别与圆
交于
,
两点.
(1)若,
,求△
的面积;
(2)过点作圆O的两条切线,切点分别为E,F,求
;
(3)若,求证:直线
过定点.
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