Question

设函数f（x）=1-x²+log

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（x-1），则下列说法正确的是（　　）

A．f（x）是增函数，没有最大值，有最小值

B．f（x）是增函数，没有最大值、最小值

C．f（x）是减函数，有最大值，没有最小值

D．f（x）是减函数，没有最大值、最小值

Answer 1

分析：首先求出函数的定义域，g(x)=1-x2，h(x)=log

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(x-1)在（1，+∞）上为减函数，利用在同一区间上两减函数的和仍为减函数，确定出函数f（x）=1-x²+log

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（x-1）单调性，从而确定有无最值．

解答：解：要使函数f（x）=1-x²+log

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（x-1）有意义，
只需：x-1＞0即可，
所以函数的定义域为：{x|x＞1}．
设g(x)=1-x2，h(x)= log

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(x-1)，
因为g（x），h（x）在（1，+∞）都是减函数，
所以f（x）=1-x²+log

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（x-1）在（1，+∞）上为减函数，
因为（1，+∞）是开区间，区间的两个端点取不到，所以f（x）在（1，+∞）上没有最大值、最小值．
故选D．

点评：本题考查函数的单调性，最值，用到了同一区间上两减函数的和仍为减函数，单调函数开区间上没有最大值、最小值．