Question

经过点F （0，1）且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M点A、D在轨迹M上，且关于y轴对称，过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l，使直线l与轨迹M 在点D处的切线平行，设直线l与轨迹M交于点B、C．
（1）求轨迹M的方程；
（2）证明：∠BAD=∠CAD；
（3）若点D到直线AB的距离等于

2

2

|AD|，且△ABC的面积为20，求直线BC的方程．

Answer 1

（1）设圆心坐标为（x，y），由题意动圆经过定点F（0，1），且与定直线：y=-1相切，
所以

x2+(y-1)2

=|y+1|，
即（y-1）²+x²=（y+1）²，
即x²=4y．故轨迹M的方程为x²=4y．
（2）由（1）得y=

1

4

x²，∴y′=

1

2

x，
设D（x₀，

1

4

x

20

），由导数的几何意义 得直线l的斜率为k_BC=

1

2

x0，
则A（-x₀，

1

4

x

20

），设C（x₁，

1

4

x

21

），B（x₂，

1

4

x

22

）．
则k_BC=

1 4 x 21 - 1 4 x 22

x1-x2

=

x1+x2

4

=

1

2

x₀，∴x₁+x₂=2x₀．
k_AC=

1 4 x 21 - 1 4 x 20

x1+x0

=

x1-x0

4

，k_AB=

x2-x0

4

，
∴k_BC+_AB=

x1-x0

4

+

x2-x0

4

=

x1+x2-2x0

4

=0，∴k_AB=-k_BC．
∴∠BAD=∠CAD．
（3）点D到直线AB的距离等于

2

2

|AD|，可知∠BAD=45°，
不妨设C在AD上方，即x₂＜x₁，直线AB的方程为：y-

1

4

x

20

=-（x+x₀），与x²=-4y联立方程组，
解得B点的坐标为（x₀-4，

1

4

(x0-4)2），∴|AB|=

2

|x₀-4-（-x₀）|=2

2

|x₀-2|
由（2）知，∠CAD=∠BAD=45°，同理可得|AC|=2

2

|x₀+2|．
∴△ABC的面积为

1

2

×2

2

|x₀+2|×2

2

|x₀-2|=20．
解得x₀=±3．
当x₀=3时，B（（-1，

1

4

），K_BC=

3

2

，直线BC的方程为6x-4y+7=0；
当x₀=-3时，B（（-7，

49

4

），K_BC=-

3

2

，直线BC的方程为6x+4y-7=0；