Question

19．在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2，∠BAC=$\frac{π}{3}$，则S_△ABC=$\sqrt{3}$；若点M为△ABC内一动点，且S_△AMC=1，$\frac{1}{{S}_{△AMB}}$+$\frac{1}{{S}_{△CMB}}$的最小值为$\frac{2（5+\sqrt{3}）}{11}$．

Answer 1

分析 由条件，根据向量数量积的计算公式便有$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=4$，进而得出S_△AMB=1，从而${S}_{△AMB}+{S}_{△CMB}=\sqrt{3}-1$，根据基本不等式即可得出${S}_{△AMB}•{S}_{△CMB}≤\frac{5-\sqrt{3}}{2}$，从而可以得出$\frac{1}{{S}_{△AMB}•{S}_{△CMB}}≥\frac{5+\sqrt{3}}{11}$，这样根据基本不等式即可求出要求的最小值．

解答 解：根据题意：$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cos\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=2$；
∴$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=4$；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|sin\frac{π}{3}=\sqrt{3}$；
又S_△AMB=1；
∴${S}_{△AMB}+{S}_{△CMB}=\sqrt{3}-1$；
∴$\sqrt{3}-1≥2\sqrt{{S}_{△AMB}•{S}_{△CMB}}$；
∴$10-2\sqrt{3}≥4{S}_{△AMB}•{S}_{△CMB}$；
∴S_△AMB•S_△CMB≤$\frac{5-\sqrt{3}}{2}$；
∴$\frac{1}{{S}_{△AMB}•{S}_{△CMB}}≥\frac{2}{5-\sqrt{3}}=\frac{5+\sqrt{3}}{11}$；
∴$\frac{1}{{S}_{△AMB}}+\frac{1}{{S}_{△CMB}}≥\frac{2}{{S}_{△AMB}•{S}_{△CMB}}$$≥\frac{2（5+\sqrt{3}）}{11}$；
∴$\frac{1}{{S}_{△AMB}}+\frac{1}{{S}_{△CMB}}$的最小值为$\frac{2（5+\sqrt{3}）}{11}$．
故答案为：$\sqrt{3}，\frac{2（5+\sqrt{3}）}{11}$．

点评 考查向量数量积的计算公式，三角形的面积公式，以及基本不等式的应用，不等式的性质．