分析 由条件,根据向量数量积的计算公式便有$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=4$,进而得出S△AMB=1,从而${S}_{△AMB}+{S}_{△CMB}=\sqrt{3}-1$,根据基本不等式即可得出${S}_{△AMB}•{S}_{△CMB}≤\frac{5-\sqrt{3}}{2}$,从而可以得出$\frac{1}{{S}_{△AMB}•{S}_{△CMB}}≥\frac{5+\sqrt{3}}{11}$,这样根据基本不等式即可求出要求的最小值.
解答 解:根据题意:$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cos\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=2$;
∴$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=4$;
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|sin\frac{π}{3}=\sqrt{3}$;
又S△AMB=1;
∴${S}_{△AMB}+{S}_{△CMB}=\sqrt{3}-1$;
∴$\sqrt{3}-1≥2\sqrt{{S}_{△AMB}•{S}_{△CMB}}$;
∴$10-2\sqrt{3}≥4{S}_{△AMB}•{S}_{△CMB}$;
∴S△AMB•S△CMB≤$\frac{5-\sqrt{3}}{2}$;
∴$\frac{1}{{S}_{△AMB}•{S}_{△CMB}}≥\frac{2}{5-\sqrt{3}}=\frac{5+\sqrt{3}}{11}$;
∴$\frac{1}{{S}_{△AMB}}+\frac{1}{{S}_{△CMB}}≥\frac{2}{{S}_{△AMB}•{S}_{△CMB}}$$≥\frac{2(5+\sqrt{3})}{11}$;
∴$\frac{1}{{S}_{△AMB}}+\frac{1}{{S}_{△CMB}}$的最小值为$\frac{2(5+\sqrt{3})}{11}$.
故答案为:$\sqrt{3},\frac{2(5+\sqrt{3})}{11}$.
点评 考查向量数量积的计算公式,三角形的面积公式,以及基本不等式的应用,不等式的性质.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 288 | B. | 144 | C. | 72 | D. | 36 |
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A. | -$\frac{1}{2}$ | B. | -$\frac{1}{4}$ | C. | $\frac{1}{4}$ | D. | $\frac{1}{2}$ |
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