Question

（1）设不等式x²-2ax+a+2≤0的解集为M，如果M⊆[1，4]，求实数a的取值范围？
（2）解关于x的不等式

a(x-1)

x-2

＞1（a≠1）．

Answer 1

分析：（1）该题实质上是二次函数的区间根问题，已知M⊆[1，4]，首先分类讨论①M=∅，得出△＜0，解出a的范围；②M≠∅，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值范围，然后综合①②的情况求出实数a的取值范围；
（2）先通分为：

ax-x+2-a

x-2

＞0，因为方程（x-2）（ax-x+2-a）=0的两根x=2与x=

a-2

a-1

，大小没法比较，所以要分类讨论，①a＞1；②a＜1，从而求出不等式的解．

解答：解：（1）设f（x）=x²-2ax+a+2，有△=（-2a）²-4（a+2）=4（a²-a-2）
∵M⊆[1，4]有两种情况：
①M=∅，此时△＜0；
当△＜0时，-1＜a＜2，M=∅⊆[1，4]；
②其二是M≠∅，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值范围
当△=0时，a=-1或2；
当a=-1时M={-1}?[1，4]；
当a=2时，m={2}⊆[1，4]．
当△＞0时，a＜-1或a＞2．
设方程f（x）=0的两根x₁，x₂，且x₁＜x₂，
那么M=[x₁，x₂]，M⊆[1，4]
∴1≤x₁＜x₂≤4，
∴f（1）≥0且f（4）≥0，1≤a≤4，且△＞0，
即

-a+3≥0 18-7a≥0 1≤a≤4 a＜-1或a＞2

，解得2＜a≤

18

7

，
综上讨论知，当M⊆[1，4]时，a的取值范围是（-1，

18

7

]．

（2）原不等式可化为：

ax-x+2-a

x-2

＞0，
①当a＞1时，原不等式与（x-

a-2

a-1

）（x-2）＞0同解．
由于

a-2

a-1

=1-

1

a-1

＜ 1＜2，
∴原不等式的解为（-∞，

a-2

a-1

）∪（2，+∞）．
②当a＜1时，原不等式与（x-

a-2

a-1

）（x-2）＜0同解．
由于

a-2

a-1

=1-

1

a-1

，
若a＜0，

a-2

a-1

=1-

1

a-1

＜2，解集为（

a-2

a-1

，2）；
若a=0时，

a-2

a-1

=1-

1

a-1

=2，解集为∅；
若0＜a＜1，

a-2

a-1

=1-

1

a-1

＞2，解集为（2，

a-2

a-1

，）．
综上所述：当a＞1时解集为（-∞，

a-2

a-1

）∪（2，+∞）；
当0＜a＜1时，解集为（2，

a-2

a-1

）；
当a=0时，解集为∅；当a＜0时，解集为（

a-2

a-1

，2）．

点评：此题主要考查一元二次不等式的解法，运用了分类讨论的思想，分类讨论的问题比较多，从而加大了试题的难度．