Question

已知a＞0，设函数f(x)=

2009x+1+2007

2009x+1

+sinx(x∈[-a，a])的最大值为M，最小值为N，那么M+N=

 

．

Answer 1

分析：要求f（x）的最大值与最小值之和，可分解为求

2009x+1+2007

2009x+1

的最大值与最小值之和sinx的最大值与最小值之和，利用它们的单调性，求解即可．

解答：解：∵f(x)=

2009x+1+2007

2009x+1

+sinx(x∈[-a，a])
∴设g（x）=

2009x+1+2007

2009x+1

，
则g（x）=

2009x+1+2009-2

2009x+1

=2009-

2

2009x+1

，
∵2009^x是R上的增函数，∴g（x）也是R上的增函数．
∴函数g（x）在[-a，a]上的最大值是g（a），最小值是g（-a）．
∵函数y=sinx是奇函数，它在[-a，a]上的最大值与最小值互为相反数，最大值与最小值的和为0．
∴函数f（x）的最大值M与最小值N之和M+N=g（a）+g（-a）
=2009-

2

2009a+1

+2009-

2

2009-a+1

…第四项分子分母同乘以2009^a
=4018-[

2

2009a+1

+

2×2009a

2009a+1

]
=4018-2=4016．
故答案为4016．

点评：本题通过求函数的最值问题，综合考查了有理数指数幂的运算性质，指数函数的单调性，正弦函数的单调性，难度比较大．