Question

已知椭圆E：的离心率为，右焦点为F，且椭圆E上的点到点F距离的最小值为2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点A的直线l与椭圆E及直线x=8分别相交于点M，N．
（ⅰ）当过A，F，N三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；
（ⅱ）若，求△ABM的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）由离心率为，椭圆E上的点到点F距离的最小值为2，即a-c=2联立方程组求a，c的值，然后利用b²=a²-c²求出b²，则椭圆方程可求；
（2）（ⅰ）设出圆的一般方程，设N（8，t），把三点A（-4，0），F（2，0），N（8，t）代入圆的方程整理成标准式后利用基本不等式求出半径的最小值，同时求得半径最小时的圆的方程；
（ⅱ）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出M点的坐标，由，借助于向量数量积求出直线的斜率，进一步得到M点的纵坐标，则△ABM的面积可求．
解答：解：（1）由已知，，且a-c=2，所以a=4，c=2，所以b²=a²-c²=12，
所以椭圆E的方程为．
（2）（ⅰ）由（1），A（-4，0），F（2，0），设N（8，t）．
设圆的方程为x²+y²+dx+ey+f=0，将点A，F，N的坐标代入，得
，解得．
所以圆的方程为，
即，
因为，当且仅当时，圆的半径最小，
故所求圆的方程为．
（ⅱ）由对称性不妨设直线l的方程为y=k（x+4）（k＞0）．
由，得（3+4k²）x²+32k²x+64k²-48=0
由-4+x_M=，得，所以，
所以，，
所以==，
化简，得16k⁴-40k²-9=0，
解得，或，即，或，
此时总有y_M=3，所以△ABM的面积为．
点评：本题考查了圆与椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题、面积问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．