Question

（2012•安庆模拟）设函数f（x）=cos

x

4

(sin

x

4

+cos

x

4

)-

1

2

（Ⅰ）求函数y=f（x）取最值时x的取值集合；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且满（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式为

2

2

sin（

x

2

+

π

4

），哟此求得函数y=f（x）取最值时x的取值集合．
（2）根据（2a-c）cosB=Bcosc，利用正弦定理可得 2conB=1，B=

π

3

． 再由f（A）═

2

2

sin（

A

2

+

π

4

），以及 0＜A＜

2π

3

，求得函数f（A）的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=cos

x

4

(sin

x

4

+cos

x

4

)-

1

2

=

1

2

sin

x

2

+

1+cos x 2

2

-

1

2

=

1

2

 （sin

x

2

+cos

x

2

）=

2

2

sin（

x

2

+

π

4

），…（4分）
故当

x

2

+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈z 时，f（x）取最值，
此时x取值的集合：{x|x=kπ+

π

2

}，k∈z．  …（6分）
（2）∵（2a-c）cosB=Bcosc，∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA．     …（8分）
∴2conB=1，∴B=

π

3

．
∵f（A）═

2

2

sin（

A

2

+

π

4

），且 0＜A＜

2π

3

，
∴

π

4

＜

A

2

+

π

4

＜

7π

12

，
∴

1

2

＜f（A）≤

2

2

，故函数f（A）的取值范围为（

1

2

，

2

2

]．     …（12分）

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．