Question

已知曲线C₁：y=x²-2x+2和曲线C₂：y=x³-3x²+x+5有一个公共点P（2，2），若两曲线在点P处的切线的倾斜角分别是α和β，求tan和sin的值．

Answer 1

分析：利用曲线在切点处的导数值为曲线的切线斜率，根据倾斜角的正切值为斜率求出tanα，tanβ，利用三角函数的诱导公式求出α+β

解答：解：∵y=x²-2x+2，∴y′=2x-2，∴tanα=2×2-2=2，
又∵y=x³-3x²+

1

2

x+5，∴y′=3x²-6x+

1

2

，∴tanβ=3×2²-6×2+

1

2

=

1

2

，
∴tanαtanβ=1，即tanβ=cotα，由0＜α、β＜

π

2

得β=

π

2

-α，
∴α+β=＜

π

2

，tan

α+β

2

=1且sin

α+β

3

=sin

π

3

=

1

2

．

点评：本题考查导数的几何意义、直线倾斜角的正切值为斜率、三角函数的诱导公式．