Question

如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为AB与BB₁的中点，

（Ⅰ）求证：EF⊥平面A₁D₁B ；
（Ⅱ）求二面角F－DE－C大小．

Answer 1

（1）  以D为原点，分别以DA、DC、DD₁所在直线为X、Y、Z轴，建立空间直角坐标系（如图所示），设正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁棱长为2，则E（2，1，0），F（2，2，1），

（2）  A₁（2，0，2），D₁（0，0，2），B（2，2，0）；=（0，1，1），
=（-2，0，0），=（0，2，-2）.   
由•=0，•="0" ，可得 EF⊥A₁D₁，
EF⊥A₁B，∴EF⊥平面A₁D₁B                
（2）平面CDE的法向量为=（0，0，2），设平面DEF的法向量为 =（x，y，z），由•=0，•="0" ，解得2 x=" -" y=z，
可取 =（1，-2，2），设二面角F－DE－C大小为θ，
∴cosθ===，
即二面角F—DE—C大小为rccos

略